만학도 [晩學徒] 들의 공식[公式]이 우리의 세상을 머문다.

만학도 [晩學徒] 들의 공식[公式]이 우리의 세상을 머문다.

이제 매화도 꽃 망울을 터트리는 봄의 향기

속에서의 우리는 자기를  더듬으면서 하루가 열리곤 한다.

Now, in the scent of spring, where plum blossoms are blooming,

 we are able to feel ourselves and open a day. 

어제 빗님이 와서 그런지 맑은 날을 보면서 하루의

일과를 그려 보기도 한다.

그래서 이젠 거리의 가로수도 새순이 돋아 나고는

봄의 향기속에서의 우리는 마음껏 풀어 보려 한다.

So now the street trees on the streets are rising, and 

we try to solve them as much as we can in the scent of spring. 

이제 세상에 나와서 이룬 만큼의 모든 생물들이

그렇게 우리에게 맑음의 생각이 주어진다고 한다.

나뭇 가지도 이제 살아 나는 느낌을 주곤 하는데

이제 곧 예수님 부활을 맞으면서 모든게 부활 하리라 본다.

Now, as soon as Jesus is resurrected, everything will be resurrected. 

어저께 그리 아프던 나의 부실한 몸도 오늘 메트로 병원가서

주사맞고 물리치료를 하니 나의 몸도 부활을 했는가 본다.

허리 주사 맞으려고 잔뜩 별르고 갔는데 '홍주철 선생님'

허리 주사 맞을 필요 없다고 엉덩이 주사만 준다.

I went to get a lot of back injections, but I do not need to get a back injection 'Hong Ju-cheol'. 

그러곤 물리 치료를 하고 나오는데 이전보다 훨씬 좋아진 나의 몸이

조금만 더 나으면 아주 정상으로 돌아 온다고 본다.

그래서 봄 나들이를 하면서 병원을 갔다 오는데 날씨는 어제

비가 왔나 싶을 정도로 매우 매우 좋다.

이제 겨울 코트는 조금  우둔하고 무거워 보여서 집에 와서는

있는데로 바바리를 입어 보고는 한다.

Now the winter coat looks a little dull and heavy, so I come home and try on the barbari. 

바바리 새로 사지 않아도 좀 구식이라도 입을만한거 같다.

그러곤 아침에고 집에 올때로 콜택시를 불러서 갔다오니

나의 팔자도 그리 불쌍하지는 않다

부자들과는 조금 차원이 달라서 조금 떨어진 생활을 한다해도

그래서 이만하면 혼자서의 생활이 그리 나쁘진 않다.

Even if you live a little away from the rich, your life alone is not so bad. 

그러고는 오늘 우리 지인이 전화가 두차례 온거로 봐서는 과히

외롭지 않는 인생이라 한다.

예수님도 혼자가 아니란걸 우리에게 보여 주시는데 우리도

삶에는 혼자가 아니라고 생각한다.

He shows us that Jesus is not alone, and I think we are not alone in life. 

그러면서 나의 생이 이토록 말끔히 세련되게 살아 주는데

누구와의 아픔도 없는거 같다.

오늘의 복음에서 보면 바리사이는 철저히 율법을 지키고

십일조도 내고 나쁘지 않게 산다면서 세리와는 차원이 다르다고 한다.

In today's gospel, Barisai is said to be different from Serie, saying that he strictly

 observes the law, gives tithes, and lives without badness. 

그런데 세리는 하느님 앞에 고개도 들지 못하고는 자기의

죄를 감히 용서를 청할수도 없다고 하느님 앞에 고개 숙인다.

그런데 나중에는 바리사이가 아니라 죄인인 세리가 용서와

사랑을 받고 떠나 갔다 한다.

이렇게 사람은 자기의 어떤 수준에 산다해도 겸손하게 산다면

하느님에게 사랑을 받을 것이라고 한다.

In this way, a person says that if he lives at any level of his own,

 he will be loved by God if he lives modestly. 

 

 

미분방정식의 의미[편집]

미분은 연속적으로 변화하는 대상을 수학적으로 분석하기 위한 도구이다. 미분은 함수의 변화율을 구한다는 의미를 가진다. 변화율은 독립변수의 변화량 대비 종속변수의 변화량의 비율로 이 비율을 한 점에서 계산한 것을 그 점에서의 미분계수라 하고, 이 값들로 원래 함수의 정의역에서 다시 함수를 만든 것을 도함수라 하는데, 함수의 변화율을 이해하면 단순히 함수값을 구하는 걸 넘어 함수값의 변화를 예측할 수 있고 함수의 구조를 파악할 수 있어 함수를 보다 깊이 이해할 수 있게 된다.

그러나 우리가 모르는 대상을 이해하려고 하는데 거기에 "사실 나 이런 함수니까 미분하셈 문제 끝!" 하고 적혀있을 리가 없다! 그래서 현실에선 함수가 뭔지 모른 채 함숫값과 변화율만이 주어지고 오히려 이를 통해 원래 함수를 추리해야 하는 경우가 대부분이다. 만약 미지의 함수와 이 함수의 도함수 간에 일련의 법칙이 존재한다면, 이를 미분방정식으로 기술할 수 있다. 그리고 미분방정식을 풀게 되면 해당 법칙을 만족하는 구체적인 함수를 알 수 있다. 때문에 미분방정식은 대상에 존재하는 법칙이나 원리를 알아내기 위한 수학적 도구로 쓰이는데, 먼저 관찰과 실험을 통해 데이터를 모으고, 이 데이터를 통해 대상에 대한 개연성있는 수학적 모델을 설정하면, 미분방정식이란 수학적 도구를 통해 주어진 모델을 만족하는 함수를 결정할 수 있다. 이렇게 찾아낸 함수가 관찰과 실험을 구해낸 데이터와 일치한다면, 결국 이 함수가 대상을 설명하는 설득력이 있는 수학적 법칙이라고 볼 수 있지 않겠냐는 것이다.

그런데 이런 설명은 과학적 방법론에 대한 설명과 똑같은데, 그럴 수 밖에 없는게 미분방정식은 아이작 뉴턴이 물리학과 함께 낳은 과학의 쌍둥이 주인공 중 하나로, 뉴턴 이후에 이어지는 과학혁명의 거의 모든 과정에 막대한 영향을 미쳤기 때문이다. 미분방정식은 뉴턴의 운동법칙에서 운동방정식을 분석하는 도구로 쓰이는데, 가속도의 법칙에 따르면 물체가 받는 힘에 비례해 속도(위치의 시간당 변화율)가 변화한다.[2] 따라서 물체에 작용하는 힘의 법칙을 알면, 시간이 변수인 위치 함수 x(t) x(t) x(t)를 따르는 미분방정식을 세울 수 있다. 예를 들어서 스프링에 매달린 물체의 경우 힘은 위치에 비례하므로(F=−kxF = -kxF=−kx, 훅의 법칙), 다음과 같은 운동방정식

md2xdt2=−kx\displaystyle m\dfrac{\mathrm{d}^2 x}{\mathrm{d}t^2} = -kx mdt2d2x​=−kx[3]

를 만족한다. 그런데 이 식은 x′′=Cx x'' = Cxx′′=Cx의 형태이므로 (CCC는 임의의 상수) x=Ceat x = Ce^{at}x=Ceat의 형태로 표시할 수 있고, 이걸 식에 대입하면 a=−kma = \sqrt{-\dfrac{k}{m}} a=−mk​​가 나온다. 그러므로

f(t)=C1eikmt+C2e−ikmt\displaystyle f(t) = C_1e^{i\sqrt{\frac{k}{m}}t} + C_2e^ {-i\sqrt{\frac{k}{m}}t} f(t)=C1​eimk​​t+C2​e−imk​​t

이 된다. 그런데 eikx=cos⁡(kx)+isin⁡(kx)e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx)eikx=cos(kx)+isin(kx)이므로

f(t)=Acos⁡ωt+Bsin⁡ωt(ω=km,A=C1+C2,B=C1i−C2i)\displaystyle f(t) = A\cos\omega t + B\sin\omega t\qquad\left(\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}} , A=C_1+C_2 , B=C_1i-C_2i\right) f(t)=Acosωt+Bsinωt(ω=mk​​,A=C1​+C2​,B=C1​i−C2​i)

의 형태로 쓸 수 있다.

그러므로 이상적인 스프링에 매달린 물체가 정현파(사인파) 진동을 한다는 것을 알 수 있다. 여기서 만약에 한 걸음 더 나아가서 코사인 방정식을 사용하여 식을 정리한다면, 스프링을 어떻게 세팅해 놓았냐에 따라서 변화하거나 유지되는 진폭을 볼 수 있으며 ω\omegaω를 이용해 스프링의 진동수 혹은 주기를 구해낼 수 있다.

이후에도 수많은 자연현상과 사회현상을 과학적 모델과 미분방정식을 통해 이해할 수 있었는데, 예를 들어, 전하의 움직임이 전혀 없는 정전기적 상황에서 전위 V는 푸아송 방정식을 따르며, 보다 일반적인 상황인 전기역학을 기술하는 미분방정식은 전기장과 자기장에 관한 맥스웰 방정식이다. 한편 유체역학에서는 유체의 운동 방정식을 가장 일반적으로 정리한 것이 나비에-스톡스 방정식인데, 이는 7개의 밀레니엄 문제 중의 하나에 속해있는 난제이다. 비단 물리학뿐만 아니라 화학에서는 화학반응의 속도를 계산하는 데에 쓰이고, 생물학에서는 먹이사슬에서 생물군집의 개체수 변화를 미분방정식으로 분석할 수 있다.

{dxdt=x(α−βy)dydt=−y(γ−δx)\displaystyle \begin{cases} \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = x(\alpha - \beta y) \\ \dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = -y(\gamma - \delta x) \end{cases} ⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧​dtdx​=x(α−βy)dtdy​=−y(γ−δx)​

생물학 전공자가 쓰는 미분방정식의 예. 연립미분방정식의 형태다. 로트카-볼테라 방정식이라 불리며 xxx는 피식자의 수, yyy는 포식자의 수를 나타낸다.

미분방정식은 자연과학/공학뿐만이 아니라 다른 학문들에도 매우 광범위하게 등장한다. 사회학에서는 인구증감의 이론[4]에서, 경제학 및 재무관리에서는 선물(2번 항목), 옵션 등의 파생상품의 가격을 계산하는 데에 등장한다. 상경계 학문에서 가장 유명한 미분방정식의 예시는 열역학의 열전도 방정식에서 모티프를 따온 블랙-숄즈 모형.

의외의 사실이지만, 고등학교 때도 미분방정식을 푸는 방법을 배운다! 흔히 부정적분이라고 불리는 개념인데, '주어진 함수 fff에 대해, 어떤 함수 FFF를 미분하여야 fff가 얻어지겠는가?'를 푸는 문제이므로, FFF에 관한 미분방정식 dFdx=f(x)\dfrac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x} = f(x) dxdF​=f(x) 으로도 볼 수 있다.

 

 

어때요, 조금 어렵나요, 치 사실은 저도 뭐가 뭔지 모릅니다

How's that, a little bit difficult, but actually I don't know what it is 

그러나 만학도 [晩學徒] 들이 공부하기엔 참으로 유용하고 재미있는

공식이 아닐까 합니다.

오늘 날씨 너무 좋네요.

이제 완연한 봄인거 같습니다.

오늘도 주님과 성모님의 은총으로 하루를 보냅니다.

Today, with the grace of the Lord and the Virgin, we spend the day 

감사합니다, 건강하세요, 사랑합니다.

Thank you, healthy, I love you.